f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. Θ = {θ 0 θ 1}. ˆθ = x n.

Transkriptio

1 ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÙÑ Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼ Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ¾ ½¼º½ Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º½º½ Ö Ø Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º½º¾ Â Ø ÙÚ Ø Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º¾ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Ø Ý Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö ÚÙÙ º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º º½ Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ º º º º º º º º ¾ ½¼º È Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½¼º º½ Ç ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ó Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ º º º º º ¾ ¾ ½¼º º¾ È Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º ¾ ½¼º º Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¾ ½½ È Ø ¹ Ø ÑÓ ÒØ ¾ ½½º½ È Ø ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º½º½ À Ö ØØÓÑÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º½º¾ Ì Ó ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½º½º Ì Ö ÒØÙÚÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼¾ ½½º¾ Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º½ ÅÓÑ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º¾º¾ ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ËÍ µ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÐØ ¹Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÌÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º º½ È ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º º¾ Ì Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º º Å Ò Ñ Ð Ò Ò ØÝ ÒØÚÝÝ º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½½º ÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ò Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾ ÎÐ Ø ÑÓ ÒØ ½ ½¾º½ à ÖÚÓ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¾º½º½ Æ Ô ÙÙÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¾º¾ Ã Ò ÖÚÓÒ ÖÓØÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º ¾ ½¾º ËÙ Ø ÐÐ Ø Ò Ó ÙÙ Ò ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾

2 ¾ ¾ ËÁË ÄÌ

3 ÄÙ Ù ½¼ Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ½¼º½ Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÒ ØÙ Ñ ØØ Ù Ø Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ø ÐÑ º ÇÒ ÖÚ Ó Ø Ú ¹ Ó Ò A ÒÒ ØØ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ θ ÒÒ ØÙÐÐ Ô ÙÒÒ ÐРà ع Ó Ñ Ö º µº Î Ð Ø Ò Ò Ó ÙØ ØÙ Ø ØÙÒÒ Ø n Ò Ð Ó ÐØ Ø Ù Ø ÐÐ Ò ÒÒ ØØ Ú Ø Ó Ó Ø Aº ÇÐ ÓÓÒ X Ó Ò A Ò¹ Ò ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º ÈÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ó Ó ÓÒ ÙÙÖ Ú ÖÖ ØØÙÒ ÓØÓ Ó¹ ÓÓÒ n ÓØ Ò ÓØÓ ÒÒ ØØ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ X ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ÒÓ٠ع Ø Ú Ò Ð Ñ Ò ÒÓÑ ÙÑ Bin(n,θ) Ñ θ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ØÙÒÒ Ø Ú Ð ØØÙ Ò Ð ÒÒ ØØ A Ø º ÒÓÑ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ( ) n f(x;n,θ) = θ x (1 θ) n x, x = 0,1,...,n; 0 θ 1. x ÒÓÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ ÓÙ Ó Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ ÓÒ Θ = {θ 0 θ 1}. Ì ØÚÒÑÑ ÓÒ ÖÚ Ó ÓØÓ Ø ÙÒ Ú ØÙÒ ÖÚÓÒ X = x Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ θ Ò ÖÚÓ Ð Ð θ Ò Ø Ñ ØØ º À Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ( ) n ½¼º½º½µ P θ (X = x) = θ x (1 θ) n x. x Ö Ø Ô ÑÖ ØØ θ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝØØ P θ (X = x) Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ò θ Ò ÖÚÓ ØØ Ú ÒÒÓÒ x ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÙØØ Ñ Ñ Ò º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÑÓ ØÙÙ ÙÒ θ = x/nº ÌÐÐ Ø Ø Ñ ØØ ÙØ ÙØ Ò θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ø Ñ Ö ØÒ ˆθ = x n. ¾

4 ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Uskottavuusfunktio Uskottavuus θ ÃÙÚ Ó ½¼º½º ÇÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò θ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ ÒÓ¹ Ñ ÙÑ Ø Bin(10,θ) ÓÒ ØÙ Ú ÒØÓ x = 8º ÂÓ ÓØÓ Ó Ó n = 100 ÓØÓ ÓÐ X = 10 A Ò ÒÒ ØØ Ò Ò θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆθ = 0.10º ÃÙÒ Ú ÒØÓ X = 10 ÓÒ ØÙ ÓØÓ Ó Ó n = 100 ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝØØ ½¼º½º½µ ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÙÒ Ø ÓÒ ( ) 100 ½¼º½º¾µ L(θ) = P θ (X = 10) = θ 10 (1 θ) ÙÒ Ø ÓØ L(θ) ÙØ ÙØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ð¹ Ø ØÙÒØ Ñ ØÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓØ º ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ Ð ÔØÝ ÐÐ Ø ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÓÒ ÔØ ÐØÚ Ú Ò Ø ØÝÐÐ Ú ÖÑÙ٠й Ð º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÖÚ Ó ÑÝ ØÙÓ Ú ÖÑÙÙ Ò Ø º Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ð ØØÝÚØ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø ÙÙÖ Ø ÓÚ Ø Ù Ò Ò¹ Ø Ø Ô Ö Ñ ØÖ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ú Ó Ø µ Ø ØÙÒÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ð ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ø Ú ÒØÓ º ÃÙÑÔ Ò Ò Ø Ô Ù Ð ØØÝÝ Ø ÑÓ ÒØ ÓÒ ÐÑ º Ì ØÝ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ý ÒÓÑ Ò ÒØ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ð ÒÒ ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ ½¼º½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX Ö ÔÔÙÙ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº Ë ÐÐÓ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒØ ÓÒ L(θ) ÖÚÓ L(θ 0 ) ÓÒ Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ ÒÒ ÝÝ Ó θ = θ 0 º Ñ Ö º½ Ø ÐØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒµ ÝØØ Ø ¹ Ð ØÓÐÐ ÔØØ ÐÝ º ØÑÑ ÒÝØ ØÙÓÒ ØÙ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ô Ö Ø¹ Ø Ò º Í ÓØØ ÚÙÙ Ô Ö Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ö Ú ÒØÓ x y ÓØ ÓÒ ØÙ Ñ Ø ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ø Ú Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ö ÓØ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ðк ÂÓ Ò Ò Ú ÒØÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ò θ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ù L 1 (θ;x)/l 2 (θ;y)

5 ½¼º½º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ ¾ Ö ÔÙ θ Ø ÐÐÓ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø Ú ÒÒÓØ ÒØ Ú Ø Ñ Ò θ Ó Ú Ò Ò¹ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ø ÑÓ Ò θ Ó Ú Ò Ó ØÓÔØ Òº ½¼º½º½ Ö Ø Ø Ñ ÐÐ Ø Ö Ø Ñ ÐÐ Ú ÒØÓ ÖÚÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÙÖ ÙØ Ò Ñ Ö ÒÓÑ Ñ ÐÐ ½¼º½º¾µº ½¼º½º¾ Â Ø ÙÚ Ø Ñ ÐÐ Ø ÃÙÒ X ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ f(x;θ) ÓÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ P(X = x)º ÁØ P(X = x) = 0 ÐÐ x ÙÒ X ÓÒ Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÃÓ Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ ÓÒ Ò Ö ÐÐ ¹ Ò Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ô ØÙÑ {X = x} Ø Ö Ó ØØ ØØ x ÙÙÐÙÙ Ó ÓÒ Ò Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ Ò ÑÖ ØØÑÒ ÚÐ Òº Ì Ô ØÙÑ Ò {X = x} Ø Ø Ö¹ Ø ÐÐ Ò Ø Ô ØÙÑ {a < X b} Ñ a < bº Ë ÐÐÓ Ò Ø Ô ØÙÑ Ò {X = x} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ ÑÙÓØÓ P(a < X b) = b a f(x;θ)dx = F(b;θ) F(a;θ). ÇÐ ÓÓÒ X = x Ú ÒØÓ ÙÑ Ø F(x;θ)º ÂÓ Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ ÓÒ > 0 Ò Ò ½¼º½º µ P θ (X = x) = P θ (x /2 < X x+ /2) = F(x+ /2;θ) F(x /2;θ). ÂÓ ÚÐ ÓÒ Ô Ò F ÓÒ Ó ØÙÙÐÐ Ò Ð Ò Ò Ë ÐÐÓ Ò ÚÓ Ò ÝØØ Ð ÖÚÓ F(x+ /2;θ) F(x /2;θ). F(x+ /2;θ) F(x /2;θ) f(x;θ). ÃÓ Ñ ØØ Ù Ø Ö ÙÙ Ö ÔÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø θ Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ó ÖØ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓ Ð ½¼º½º µ L(θ) = cf(x;θ), Ñ c ÓÒ Ñ Ø Ò ÓÔ Ú Ø Ú Ð ØØÙ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ú Óº }{{} }{{} f(x;θ) x

6 ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ½¼º¾ Ñ Ö Ñ Ö ½¼º½ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ð Ð ÐÙÚÙ ½¼º½ Ø ØØÝ ÒÒ ØÙ Ñ Ø¹ Ø Ù Ø º Ó Ø A ÒÒ ØØ 100 Ò Ò Ó ÙØ ØÙÒ ÓØÓ 10 ÓÐÐÓ Ò ¹ Ø Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ½¼º½º¾µº ÂÓ Ø ØÒ ÒÓ Ø Ò ØØ A Ø ÒÒ ØØ ÓÖ ÒØ Ò 10 ÐÐÓ Ò θ Ó Ú Ò ÓÖÑ Ø Ó ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ L(θ) = P θ (X 10) 10 ( ) 100 = θ x (1 θ) 100 x. x x=0 Ñ Ö ½¼º¾ Ø ÑÓ Ò ÑÝÝÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ(N) Ø ØÝÐÐ ÐÙ ÐÐ º ÌÙع ÑÙ ÖÝ Ñ ÔÝÝ Ý Ø N 1 = 25 ÑÝÝÖ Ñ Ö Ø Ò Ð Ø Ò ÐÙÓÒ¹ ØÓÓÒº ÅÝ ÑÑ Ò ÔÝÝ Ý Ø ØÒ n = 60 ÑÝÝÖ Ó ÓÒ x = 5 Ñ Ö ØØÝ n x = 55 Ñ Ö Ø ÑØ Òغ ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ÑÝÝÖ Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÓÙØÙ ÔÝÝ Ý Ò ÓÒ Ñ Ò Ò N Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÚÓ Ò Ð ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ L(N) = P(X = 5;N) = ( 25 )( N ) ( N 60). ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò Ì Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ó ØØ Ø ÓØÓ Ø µ ÓØ ÒØ Ú Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ñ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø θº À Ú ÒÒÓÒ X = x ØÓ ÒÒ ÝÝ 1º Ó ÓÒ f 1 (x;θ) Ú ÒÒÓÒ Y = y ØÓ ÒÒ ÝÝ 2º Ó f 2 (y;θ)º Ì Ò Ø ÚÓ ÑÑ ÒÓ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Å ÐÐ ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒØ Ú ÒØÓ x yº Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ½¼º½µ ÑÙ Ò 1º Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ L(θ;x) = f 1 (x;θ) 2º Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó L(θ;y) = f 2 (y;θ). ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x,y;θ)º Ø ØØÝÝÒ Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ ¹ Ø ÐÑÒ ½¼º½µ ÑÙ Ò L(θ;x,y) = f(x,y;θ).

7 ½¼º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò ¾ ÃÓ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò f(x,y;θ) = f 1 (x;θ)f 2 (y;θ)º ¹ Ø ØØÝÝÒ Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ¹ Ó ½¼º º½µ L(θ;x,y) = L(θ;x)L(θ;y). ÇØØ Ñ ÐÐ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø ½¼º º½µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ø Ò Ú ¹ Ø Ú ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ½¼º º¾µ l(θ;x,y) = l(θ;x)+l(θ;y), Ñ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ l(θ;x) = logl(θ;x), l(θ;y) = logl(θ;y) l(θ;x,y) = logl(θ;x,y)º Ã Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò¹ ÓÖÑ Ø Ó ÚÓ Ò Ý Ø Ø Ò ØØ ÖÖÓØ Ò Ý ØØ Ò Ó Ò Ð ØØÝÚØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ÒÒ Ú Ø Ú Ø ÐÓ Ö ØÑÓ ÙØ Ù Óع Ø ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ Ð Ø Ò Ý Ø Òº ÇÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ Ù ÑÑ Ò Ù Ò ¹ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ó Ò ÒØ Ñ Ø ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò Ý Ø Ú Ø Ú Ø ÖØÓÑ ÐÐ Ó Ò Ð ØØÝÚØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ Ð Ñ ÐÐ Ý Ø Ò ÐÓ ¹ Ö ØÑÓ ÙØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óغ ÂÓ x 1,...,x n ÓÒ Ú ØØÙµ ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù µ ÓÒ f(x;θ) Ò Ò n L(θ;x 1,...,x n ) = L(θ;x i ) l(θ;x 1,...,x n ) = l(θ;x i ). ÂÓ ÒÒÙ Ò Ú Ö ÓÐ ÚÓ Ò Ú ÒØÓ Ò x 1,...,x n Ô ÖÙ ØÙÚ θ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ö Ó ØØ Ý Ò ÖØ Ø L(θ)º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÓØ ÐÑ ½¼º º½µ ÓÒ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÝÐ Ò Ò ØØ Ú ÒÒÓØ x = (x 1,...,x k ) y = (y 1,...,y m ) ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ÑÝ Ú ØÓÖ ÖÚÓ º ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X = (X 1,...,X k ) Y = (Y 1,...,Y m ) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò f(x,y;θ) = f 1 (x;θ)f 2 (y;θ) ÓØ ÐÑ ½¼º º½µ Ô Ø Ô Ò º Ñ Ö ½¼º Â Ø Ø Ò Ñ Ö Ò ½¼º½ ØØ Ðݺ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö ØÙØ Ø ÚØ Ñ Ò Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ Ó Ò A Ò¹ Ò ØØÙ Ø Ñ ØØ Ú Ò Ø ØØ ÐÙØÙØ ÑÙ Ò Ø Ò ØØ 1º ØÙØ Ø ØØ Ð 100 2º ØÙØ 50 Ò Ó ÙØ ØØÙ º Å Ö ØÒ n = º À Ú ØØ Ò ØØ 1º ØÙØ Ò ÓØÓ ÓÐ 10 2º ØÙØ Ò ÓØÓ 8 Ó Ò A ÒÒ ØØ ¹ º

8 ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ÆÝØ 1º ÓØÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( ) 100 l 1 (θ;10) = log +10log(θ)+90log(1 θ) 10 2º ÓØÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ø Ú Ø ( ) 50 l 2 (θ;8) = log +8log(θ)+42log(1 θ). 8 ÇØÓ Ø Ð ØÙØ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ø ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø ˆθ 1 = 10 ˆθ2 = ÃÓ ÓØÓ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ØÙÐÓ Ò ½¼º º¾µ ÑÙ Ò Ý Ø Ø¹ ØÝÝÒ ÓØÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ½¼º º µ l(θ) = l 1 (θ)+l 2 (θ) = (10+8)log(θ)+( (10+8))log(1 θ) = 18log(θ)+132log(1 θ). ÄÓ Ö ØÑÓ Ù Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø ½¼º º µ Ð ØØÙ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ ˆθ = = = ˆθ 150ˆθ Ñ Ö ½¼º ÇÐÓÓÒ x 1,...,x n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(1,σ 2 ) Ñ σ 2 ÓÒ ØÙÒØ Ñ ØÓÒº Ø Ò Ú ÒØÓÓÒ x i Ô ÖÙ ØÙÚ σ 2 Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ [ L(σ 2 1 ;x i ) = exp (x ] i 1) 2, 2πσ 2 2σ 2 Ú Ø Ú ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(σ 2 ;x i ) = 1 2 log(2πσ2 ) 1 2σ 2(x i 1) 2. Ó Ó ÓØÓ Ò x 1,...,x n Ô ÖÙ ØÙÚ σ 2 Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ [ ] n L(σ 2 ;x 1,...,x n ) = L(σ 2 ;x i ) = (2πσ 2 ) n 2 exp 1 (x 2σ 2 i 1) 2. Ì Ø Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ó ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ logl(σ 2 ;x 1,...,x n ) = l(σ 2 ;x i ) = n 2 log(2πσ2 ) 1 2σ 2 (x i 1) 2.

9 ½¼º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò ¾ Ñ Ö ½¼º ÇÐÓÓÒ x 1,...,x n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ 2 ) Ñ µ ØØ σ 2 ÓÚ Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ º Ñ Ö ½¼º Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ σ 2 ÓÐ ØÙÒØ Ñ ØÓÒº Ì Ø Ô Ù Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÚ Ø Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓØ [ ] n L(µ,σ 2 ;x 1,...,x n ) = L(µ,σ 2 ;x i ) = (2πσ 2 ) n 2 exp 1 (x 2σ 2 i µ) 2 l(µ,σ 2 ;x 1,...,x n ) = n 2 log(2πσ2 ) 1 2σ 2 (x i µ) 2. Ñ Ö ½¼º Î ÖÖ Ø Ò ÙÙ Ò Ó ØÓÑ Ò Ø ÐÑÒ Ø Ó ÝØ ÓÐ Ú Ò Ú Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ø ÓÓÒº ÍÙØØ Ó ØÓ ÒÒ ØØ Ò n 1 ÐÐ ÔÓØ Ð ÐÐ Ó ¹ Ø y 1 Ô Ö Ò º Î Ø Ú Ø Ú Ò Ó ØÓ ÒÒ ØØ Ò n 2 ÐÐ ÔÓØ Ð ÐÐ Ó Ø y 2 Ô Ö Ò º ÌÐÐ Ò Ó ØÓ Ó Ò ØÙÐÓ Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ì ÙÐÙ Ó ½¼º½º Ì ÙÐÙ Ó ½¼º½º ÀÓ ØÓ Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ô Ö ÒØÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÑÙ Òº à ØØ ÐÝ ÍÙ Î Ò È Ö ÒØÙÒ Ò Ð Ñ y 1 y 2 ÔÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò Ð Ñ n 1 y 1 n 2 y 2 ÈÓØ Ð Ò Ð Ñ n 1 n 2 ÇÐ Ø ÑÑ ØØ Ô Ö ÒØÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖØ Y 1 ÙÙ Ó ØÓµ Y 2 Ú Ò Ó ØÓµ ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÒÓÑ ÙÑ Y i Bin(n i,π i ), i = 1,2º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÐÙ ÙÑÖØ Y 1 Y 2 ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÀÓ ØÓ Ò Ø Ó ÚÓ Ò Ú ÖØ ÐÐ ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò π 1 ÙÙ Ó ØÓµ π 2 Ú Ò Ó ØÓµ ÚÙÐÐ º Æ Ò Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ó Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ø π 1 Ò π 1 Ò Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ( ) ni ½¼º º µ L(π i ;y i ) = π y i i (1 π i) n i y i, i = 1,2. y i ( n ÃÓ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ½¼º º µ ÖÖÓ Ò i ) y ÓÒ Ú Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ù ¹ i Ø Òµ ÚÓ Ò Ð Ù Ò Ý Ò ÖØ Ø Ñ ÔÓ Ø ÖØÓÑ ÐÐ ½¼º º µ Ú ÓÐÐ 1/ ( n i ) y i º ÃÓ Ò ØÙÐÓ Ø ÚÓ Ò Ý Ø Ý Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙ¹ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÓÒ L(π 1,π 2 ;y 1,y 2 ) = L(π 1 ;y 1 )L(π 2 ;y 2 ) = π y 1 1 πy 2 2 (1 π 1) n 1 y 1 (1 π 2 ) n 2 y 2.

10 ¾ ¼ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Î Ø Ú ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(π 1,π 2 ;y 1,y 2 ) = l(π 1 ;y 1 )+l(π 2 ;y 2 ) 2 2 = y i logπ i + (n i y i )log(1 π i ). ÃÓ ÐÐ ÔÝÖ ØÒ Ñ Ò Ø ØÓ Ø ÓÒ Ó Ó ØÓ Ò Ø Ó ÖÓ º Ä ¹ Ø Ó Ø Ò ÓÒ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ ØØ Ó Ó ÐÐ ÓÐ ÖÓ ½¼º º µ H 0 : π 1 = π 2 = π. ÂÓ ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ô Ø Ô Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ú Ò Ý ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö ¹ Ñ ØÖ Ó ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ý Ø Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ πº Ë ÐÐÓ Ò ÒÓ¹ Ñ ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ÒÐ ÙÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ø ÑÑ ØØ ½¼º º µ Y 1 +Y 2 Bin(n,π), Ñ n = n 1 +n 2 º È Ö Ñ ØÖ Ò π ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ½¼º º µ l(π) = (y 1 +y 2 )logπ +(n y 1 y 2 )log(1 π), Ñ n = y 1 + y 2 º Ì Ø Ù Ú ÖÖ Ø Ò Ø Ö ÒÓÑ ÙÑ Ø Ø Ú ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ý Ø ØÝ Ø ÒÓÑ Ñ ÐÐ Ø ½¼º º µ Ø Ú Ò ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝØ Òº Ã Ò Ó ØÓÑ Ò Ø ÐÑÒ Ú ÖØ ÐÙØ Ò ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ø ÝÐ Ø Ø¹ ØÚ Ù Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ú Ø ÐÙÙÒ Ñ Ú Ø ÐØ Ú Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÐÙ Ù¹ ÑÖ ÓÒ k > 2º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ì ÙÐÙ Ó ½ º½ Ø ØØÝ ÑÙÓØÓ º È ÖÙ Ñ ÐÐ ÓÒ k ØÙÒØ Ñ ØÓÒØ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ Ì ÙÐÙ Ó ½¼º¾º ÀÓ ØÓ Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ô Ö ÒØÙÒ Ò ÐÙ ÙÑÖÒ ÑÙ Òº ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÂÓ ÝÔÓØ Ã ØØ ÐÝ ½ ¾ º º º k È Ö ÒØÙÒ Ò Ð Ñ y 1 y 2 º º º y k ÔÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò Ð Ñ n 1 y 1 n 2 y 2 º º º n k y k ÈÓØ Ð Ò Ð Ñ n 1 n 2 º º º n k l(π 1,...,π k ) = k y i logπ i + k (n i y i )log(1 π i ). H 0 : π 1 = = π k = π, ØØ Ó Ó ÐÐ ÓÐ ÖÓ Ô Ø Ô Ò Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø Ó ½¼º º µ l(π) = ylogπ +(n y)log(1 π),

11 ½¼º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò Ý ØÑ Ò Ò ¾ ½ Ñ π ÓÒ Ó ØÓ Ò Ý Ø Ò Ò ÓÒÒ ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ y = k y i n = k n iº Ñ Ö ½¼º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ð Ø Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓÑ ÐÐ Ù¹ Ø Ò Ñ Ö º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ú ÒÒÓØY 1,Y 2,...,Y n ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ½¼º º µ Y i N(α+βx i,σ 2 ), 1 i n, Ñ E(Y i ) = α+βx i, i = 1,...,nº À Ú ØØÙ Ò ØÓ ÑÙÓ Ó ØÙÙ n Ø ÖÚÓ¹ Ô Ö Ø (x 1,y 1 ) º º º (x n,y n )º ÒÒÙ Ø ÑÙÙØØÙ Ò x ÖÚÓØ x 1 º º º x n Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ ØÙ Ú Ó º Ê Ö Ó ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ E(Y x) = α+βx ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ Y i ÓÒ Ñ Ú Ö Ò σ 2 º Å ÐÐ ½¼º º µ ÚÓ ¹ Ò ÑÝ Ð Ù Ù ÑÙÓ Ó Y i = α+βx i +V i, 1 i n, Ñ V 1 º º º V n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø V i N(0,σ 2 ) 1 i nº À Ú ÒØÓ Ò Y 1 º º º Y n Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(y 1,...,y n α,β,σ 2 ) = = n f i (y i α,β,σ 2 ) n [ 1 exp 1 ] 2πσ 2σ 2(y i α βx i ) 2 [ = (2πσ 2 ) n/2 exp Ì Ø Ò Ò ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ [ L(α,β,σ 2 ) = (2πσ 2 ) n/2 exp 1 2σ 2 ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ 1 2σ 2 (y i α βx i ) ]. 2 ] (y i α βx i ) 2 ½¼º º½¼µ l(α,β,σ 2 ) = n 2 log(2πσ2 ) 1 2σ 2 (y i α βx i ) 2. Ñ Ö ½¼º Ñ Ö º Ø Ö Ø ÐØ Ò Ð ÒØÓ ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ ¹ ÝØ ØØÚ Ò Ñ Ø ÐÐ Ò ÒÒ ØØ Ñ Ò ØÚÝÝØØ ÐÓ Ø Ò Ö Ö ÓÑ ÐÐ Ò ÚÙÐÐ º Ë Ð ØØÚÒ ÑÙÙØØÙ Ò xóò ÒÒ ØØ Ñ Ò Ó ØÙÚ ÙÓÖÑ ØÙ Ô

12 ¾ ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Ô ÙÒ»Ô Ö Ò Ð ØÙÙÑ µ Ð Ø ØØÚÒ ÑÙÙØØÙ Ò y ÓÒ Ö ÝÚ Ò ÒÒ Ø¹ Ø Ñ Ò Ð Ñ ÒÒ ØÙÐÐ ÙÓÖÑ ØÙ ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö ÝÚ Ò ÒÒ ØØ Ñ Ò ÐÙ ÙÑÖØY 1,...,Y 10 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÒÓÑ ÙÑ Ð ½¼º º½½µ Y i Bin[n i,π(x i )], i = 1,...,10 Y i Y j º Ê ÓÓÒØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ π(x i ) Ö ÔÔÙÙ ÙÓÖÑ ØÙ Ø x i º ÃÓ ÝØ ØØ Ò ÝÑÑ ÒØ Ö ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ó º Ñ Ö ÙÓÖÑ ØÙ Ø ¹ ÓÐÐ x 1 = 25 Ô Ø Ø ØØ Ò n 1 = 50 ÒÒ Ø ÒØ Ó Ø y 1 = 10 Ö ÓÓÒØÙ º ÃÓÖ ÑÑ ÐÐ ÙÓÖÑ ØÙ Ø ÓÐÐ x 10 = 43 Ô Ø Ø ØØ Ò n 10 = 65 ÒÒ Ø ÒØ Ó Ø Ö ÓÓÒØÙ y 10 = 51º Ì Ø ØØ Ú ÒÒ ØØ Ñ ÓÐ Ý Ø Ò n = 690 n = 10 n iº ÃÓ ÐÙ ÙÑÖØ Y 1,...,Y k k = 10µ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÓÒ Ò Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÒÓÑ ÓÐ ØÙ Ò ½¼º º½½µ ÒÓ ÐÐ k ( ) ni π(x i ) y i [1 π(x i )] n i y i. y i À Ú ÒØÓ Ò y 1,...,y k Ô ÖÙ ØÙÚ Ô Ö Ñ ØÖ Ò π(x 1 ),...,π(x k ) Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó L[π(x 1 ),...,π(x k );y 1,...,y k ] = k π(x i ) y i [1 π(x i )] n i y i, ÙÒ Ý Ø ÙÑ ÒØÝÚ Ú Ó k ( ni ) y Ø ØÒ ÔÓ º Ì Ø Ò i ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ½¼º º½¾µ l[π(x 1 ),...,π(x k )] = = k y i logπ(x i )+ k (n i y i )log[1 π(x i )] k π(x i ) k y i log 1 π(x i ) + n i log[1 π(x i )]. ÄÓ Ø Ö Ö ÓÑ ÐÐ Ú ÓÒ ÐÓ Ö ØÑ ½¼º º½ µ log π(x i ) 1 π(x i ) = α+βx i, 1 i k ÓÐ Ø Ø Ò Ð Ò Ö º Ì Ø Ò Ö ÓÓÒØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø π(x i ) = exp(α+βx i) 1+exp(α+βx i ), 1 i k. ÃÙÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø π(x i ), 1 i k Ð Ù ÙØ Ò Ñ ÐÐ Ò ½¼º º½ µ ÑÙ¹ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò α β ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ò Ð Ù Ò ½¼º º½¾µ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò α β Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ½¼º º½ µ l(α,β) = yα+( k x i y i )β k n i log[1+exp(α+βx i )],

13 ½¼º º Ø Ý Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò ¾ Ñ y = k y iº ÙÒ Ø Ó l(α,β) ÓÒ ÒÝØ α Ò β Ò Ù Ø Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Óº ½¼º Ø Ý Ý Ð Ò Ð ØÝÑ Ø Ô Ò Ý Ð Ð ØÝÑ Ø Ú Ø ÖÚ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÔÖ ÓÖ ÙÑ g(θ) ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÙÑ f(θ x) = Ú Ó g(θ)f(x;θ) = Ú Ó g(θ)l(θ) Ý Ð Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ Ñ Ò Ø ÐÑ Ý Ø ÔÖ ÓÖ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÖØÓÑ ÐÐ Ò ÒÒº ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ Ù ÇÐ Ø Ø Ò ØØ y = h(x) ÓÒ Ú ÒÒÓÒ x Ý ¹Ý Ò Ò Ð Ø Ú Ò Ò ÑÙÙÒ¹ ÒÓ ÚÖغ Ð ÐÙ Ù º º¾ º ½ µº Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó x = g(y) ØØ y = h(x) x = g(y). ÂÓ x ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò f Y (y;θ) = f X ( g(y);θ ) g (y), Ñ g (y) = dx º Ë ÐÐÓ Ò ÑÙÙÒÒ ØØÙÙÒ Ú ÒØÓÓÒ y Ô ÖÙ ØÙÚ Ù ÓØØ ÚÙÙ dy ÓÒ L(θ;y) = L(θ;x) g (y). ÇÒ ÐÚ ØØ x Ò y Ò Ô Ø ÐØ Ñ Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó Ú Ò¹ ÓÖÑ Ø Óº ÃÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ θ 1 θ 2 Ú ÖÖ Ø Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ò L(θ 2 ;y) L(θ 1 ;y) = L(θ 2;x) L(θ 1 ;x). Î ÖØ ÐØ Ö Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ñ Ñ ÐÐ Ú Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ Ò Ù Ø ÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Ø Ó Ú ÓØ ÙÔ ØÙÚ Ø ÔÓ º ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ Ø Ö Ø ÐØ ÚÓ Ò ØØ ÔÓ ÐÐ Ø Ø Ö¹ Ñ Ø ÓØ ÚØ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ θº Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú ÓØ Ú Ð¹ Ð Ý ØØ Ò Òº ÂÓ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÐÙØ Ò Ø Ý ØØ Ø Ú ÐÐ Ø ÒÓÖÑ Ö Ø Ò Ø Ò ØØ Ò Ñ Ñ ÖÚÓ ØÙÐ Ý º Ñ Ö ½¼º ÂÓ x ÓÒ ÓØÓ ÒÓÑ Ù Ø Bin(n,θ) Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ L(θ) = θ x (1 θ) n x,

14 ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ØØÝ ÔÓ Ú ÓØ ÖÑ Øº ÌØ ÑÙÓØÓ ÒÓØ Ò Ù Ò Ù Óع Ø ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÝØ Ñ º Î Ø Ú Ø ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(θ) = logl(θ) = xlog(θ)+(n x)log(1 θ). ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö ÚÙÙ ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ËÍ µ ÒØ Ø Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø Ò ÓÐ ¹ Ú Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ô Ø ¹ Ø Ñ Ø Ò Ú Ù ÓØØ ÚÙÙ Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÝØØ Ö Ó ØÙ Ô Ø ¹ Ø Ñ ØØ Ò ÑÖ ØØÑ Òº Ö ½ ¾¾µ ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø ÑÓ ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑÒ Ý Ø Ý º ËÙÙ¹ Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ò ˆθ Ð Ñ ÓÒ ÑÖ Ø ØØÚ Ù ¹ ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ L(θ) Ø Ú Ø Ú Ø ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ L(θ) Ñ Ñ Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Θº Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø Ú Ø Ú ÒØÓ Ò ÐØÑÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ¹ Ú Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ËÍ ÓÒ Ý ÒÓ ÐÙÓÒÒ Ø Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ º Ð ¹ Ø Ý ÐÙ Ù Ö Ø ÐÙÓÒÒ Ø Ñ Ò ÙÒ Ø ÓØ º ÂÓ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ö ØØ Ò Ò Ø Ó Ò Ú Ö ØØ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ò ÝÚ Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒ Ø Ñ Ò Ø ÖÚ Ø Ò Ú ÒØÒ 2 ÐÙ Ù Ñ ¹ Ñ Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÚÙÙ Ñ Ñ º ÂÓ ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÐÐ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ñ Ñ Ó Ò Ý ÔÖ Ø ÝÚ Ú Ö ØØ Ò Ò Ð ÖÚÓ ÒÓÑÑ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ ÒÒ ÐÐ º Ì Ú ÐÐ Ø θ Ò ËÍ ˆθ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ö ÚÓ ÒØ ÒÓÐÐ º ÀÙÓÑ ØØ ¹ ÓÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ØØ ÒÓ ÚÓ Ø Ø Ò Ò Ò ÓÚ ÐØ º Ë Ù ¹ Ø Ò Ò Ø Ö Ó Ø Ø ØØ ËÍ ÐØ ÚÓ ÓÐÐ ÓÐ Ñ º ÙÒ Ø ÓÒ l(θ) Ò ÑÑ Ø Ö Ú ØØ ÙØ ÙØ Ò Ö Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó Ø ÐÝ Ý Ø Ú Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ½¼º º½µ S(θ;x) d dθ l(θ;x), Ñ l(θ;x) = logl(θ;x)º Å Ö Ø ÑÑ ÑÝ ÐÝ Ý Ø S(θ) = l (θ)º È Ö ¹ Ñ ØÖ Ò θ ËÍ ˆθ ÓÒ Ô Ø Ý ØÐ Ò S(θ) = 0 Ö Ø Ùº Å Ñ ÐÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ2º Ö Ú ØØ ÓÒ Ò Ø Ú ¹ Ò Òº ÄÓ Ö ØÑÓ ÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÚÙÙ Ô Ø ˆθ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÙÖ Ò I(ˆθ) Ñ I(θ) d2 dθ 2 logl(θ) = l (θ). ËÙÙÖ Ö ÚÙÙ ÖØÓÓ ØØ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ø ÖÚ Ù ÔÔÙº Ì Ð ØÓÐÐ Ø ØÙй ØØÙÒ Ø Ö Ó ØØ ÙÙÖ ÑÔ Ú ÖÑÙÙØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ø º ËÙÙÖ ØØ

15 ½¼º º Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ö ÚÙÙ ¾ I(ˆθ) ÙØ ÙØ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ø ÓÖ Ú ØÙ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø ÐÝ Ý ÑÑ Ò Ú ØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó º Ì Ú ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Θ ÓÒ Ó Ò Ö Ð ÐÙ ÙÚÐ l(θ) Ò 1º 2º Ö Ú ØØ ÓÚ Ø ÓÐ Ñ Θ Ò Ô Ø º ÂÓ ÒÝØ ˆθ ÓÒ Θ Ò Ô Ø Ò Ò l (ˆθ) = 0 l (ˆθ) < 0º Æ Ò ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø ÓÒ ½¼º º¾µ S(ˆθ) = 0 I(ˆθ) > 0. ÂÓ ÐÐ Ñ Ò ØÙØ ÒÒ ÐÐ ÝÝ ÓÐ ØÙ Ø ÚØ Ô Ô Ò ˆθ ÚÐØع ÑØØ ÓÐ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ùº Ñ Ö ½¼º½¼ ÒÓÑ ÙÑ Ò Ø Ô Ù Ñ Ö º½¼µ S(θ) = x θ n x 1 θ, I(θ) = x θ + n x 2 (1 θ) 2, 0 < θ < 1. ÃÙÒ 1 x n 1 Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ ÐÐ S(θ) = 0 ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù θ = x/nº ÃÓ I(θ) > 0 Ô Ø θ = x/n Ò Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ l(θ) ÙÒ Ø ÓÐÐ L(θ) ÓÒ Ñ Ñ Ô Ø θ = x/nº ÃÓ L(0) = L(1) = 0 Ò Ò ˆθ = x/n ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ñ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ º ÃÙÒ x = 0 Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ ÐÐ ÓÐ Ö Ø Ù ÑÙØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÐÐÓ Ò L(θ) = (1 θ) n, 0 θ 1. Æ Ò ÐÔÓ Ø ØØ L(0) = maxl(θ) ÓØ Ò ˆθ = 0º Î Ø Ú Ø ÙÒ x = n θ Ò Ò ˆθ = 1º Æ Ò Ú ˆθ = x/n ÔØ ÐÐ Ú ÒØÓ ÖÚÓ ÐÐ Ú Ø Ñ ØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ º Ñ Ö ½¼º½½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÔÙ Ð ÒÚ Ø Ò Ô ÚÒ Ò ØÙÐ Ú Ò ÚÖ Ò ÔÙ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÓÒ Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓ ÓÒµº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÑ ÓÒ Ò Ô Ú Ò Ñ Ö Ô Ú Ò Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÇÐ ÓÓØ x 1 x 2 º º º x n Ö Ô Ú Ò Ú ØÙØ Ú Ö ÔÙ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖغ À Ú ÒÒÓÒ x i ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ f(x i ;µ) = 1 x i! µx i e µ, x i = 0,1,2,... ÃÓ Ö Ô Ú Ò Ú ØØÙ Ò Ú Ö ÔÙ ÐÙ Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ÓØÓ Ò x 1,x 2,...,x n ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ f(x 1,x 2,...,x n ;µ) = f(x 1 ;µ)f(x 2 ;µ) f(x n ;µ) n 1 = x i! µx i e µ 1 = x 1!x 2!...x n! µ x i e nµ. ÃÓ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ö ÔÙ Ú Ó Ø 1/(x 1!x 2! x n!) ÚÓ Ò ØØ Ø Ö Ø ÐÙ Ø ÔÓ º ÌÑ ØÙÖ Ø Ú Ó Ø ÔÙ Ø ØØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ý Ò ÓÒ L(µ) = µ x i e nµ, 0 µ <.

16 ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Î Ø Ú ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(µ) = x i log(µ) nµ. È Ø ÙÒ Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø S(µ) = 1 µ xi n I(µ) = xi µ 2. ÂÓ x i > 0 Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ ÐÐ S(µ) = 0 ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø¹ Ù µ = x i /n = xº ÃÓ I(µ) > 0 Ô Ø µ = x Ò Ò x ÓÒ Ñ ¹ Ñ Ó Ø º Ë ÓÒ ÑÝ ÐÓ Ð Ñ Ñ Ó L(0) = 0 L(µ) 0 ÙÒ µ º ÂÓ x i = 0 Ò Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ý ØÐ ÐÐ S(µ) = 0 ÓÐ Ö Ø Ù ÑÙØØ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÚÙØØ Ñ Ñ Ò Ô Ø µ = 0º Æ Ò ˆµ = x ÐÐ Ú ÒØÓ ÖÚÓ ÐÐ º À Ú ÒØÓ Ò x 1 x 2 º º º x n ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÑÓ ØÙÙ ÙÒ ÙÑ Ò ØÙÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ µ Ø ÑÓ Ò ÓØÓ ¹ ÖÚÓÐÐ xº Ñ Ö ½¼º½¾ ÇÐ ÓÓÒx 1,...,x n Ú ØØÙ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(θ,σ 2 )º ÇÐ Ø ÑÑ Ø ØØσ 2 ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙ Ú Óº ÃÙÒθ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ø ÖÑ Ø Ø ØÒ ÔÓ Ò Ó Ø ÙÖ l(θ) = 1 2σ 2 (x i θ) 2, S(θ) = l (θ) = 1 (x σ 2 i θ). Ê Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ S(θ) = 0 Òθ Ò Ë͹ Ø Ñ Ø ˆθ = xº À Ú ØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ò I(ˆθ) = n σ 2. ÖÚ Ó Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓØ 2. Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐݹ ÒÓÑ ÐÐ ËÍ Ò ˆθ ÝÑÔÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ l(θ) Ô Ö Ñ ØÖ Ú ÖÙÙ Θ ÑÖ ¹ Ø ÐØÝ Ø ÙÚ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Òθ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Î Ø Ú Ø θ Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó ÓÒ S(θ) = l (θ) Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø Ó I(θ) = l (θ)º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ˆθ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ò Θ Ò Ô Ø º ÖÚ Ó Ò ÐÓ ¹Ù ÓØØ ÚÙÙØØ 2. Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ËÍ Ò ˆθ ÝÑÔÖ Ø º Ë ÐÐÓ Ò Ó Ø Ò l(θ) l(ˆθ)+s(ˆθ)(θ ˆθ) 1 2 I(ˆθ)(θ ˆθ) 2, ½¼º º µ log L(θ) L(ˆθ) 1 2 I(ˆθ)(θ ˆθ) 2.

17 ½¼º º Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò ¾ ÌÓ Ò Ø Ò Ð ÖÚÓÒ Ø Ö ÙÙØØ ÚÓ Ò ØÙØ Ô ÖØÑÐÐ ÐÓ Ö ØÑÓ ¹ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ò Ð ÖÚÓ Ñ Ò ÙÚ ÓÓÒº ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ô Ù Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ö ØØ Ò Òº Ä ÖÚÓ Ñ ØØ Ø Ú ÐÐ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÝÝØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø º ÃÙÒ Ð ÖÚÓ ½¼º º µ Ö ÚÓ Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò S(θ) I(ˆθ)(θ ˆθ) Ø ½¼º S(θ) I 1/2 (ˆθ) I1/2 (ˆθ)(θ ˆθ) Í ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÐÑ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Ó Ú ÔÚ ÖÑÙÙØØ º Ì Ö¹ Ø Ð ÑÑ ÒÝØ Ù Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø ÐÐÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ø º ÇÐ Ø ÑÑ ÐÙ Ø Ú Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò ÑÙØØ Ô Ö Ø ÔØ ÝÐ ¹ ÑÑ Ò Òº Ñ Ö ÒÓÑ ÙÑ Bin(10,θ) ÓÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù θ 1 = 0.8 Ú Ø Ò θ 2 = 0.3 L(θ 1 = 0.8) L(θ 2 = 0.3) = θ8 1(1 θ 1 ) 2 θ 8 2 (1 θ 2) 2 = 208.7, ÙÒ Ú ÒØÓ x = 8º È Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ θ = 0.8 ÓÒ ÒÓ Ò 200 ÖØ Ù Óع Ø Ú ÑÔ Ù Ò ÖÚÓ θ = 0.3º Ñ Ö ½¼º½ ÅÓÒ ÓÚ ÐÐÙ ÒÓÑ ÙÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ø ¹ ØÒ ÐÓ Ø¹ Ø ÓÐÐ Ø Ò ØØ ψ log ( ) θ. 1 θ Ë ÐÐÓ Òψ 1 = log(0.8/0.2) = 1.39 ψ 2 = log(0.3/0.7) = 0.85 Ñ θ 1 = 0.8 θ 2 = 0.3 ÙØ Ò Ðк ÆÝØ θ ÓÒ ψ Ò ÙÒ Ø ÓÒ θ = eψ 1+e ψ. ÃÙÒ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó Ø ØÒ ψ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ö ØÒ Ø L (ψ) Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ù L (ψ 1 ) L (ψ 2 ) = L(θ 1) L(θ 2 ) = Í ÓØØ ÚÙÙ Ù ÑÙÙØÙ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÙÙÒÒÓ º ÂÓ θ i ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò A i ØÓ ÒÒ ÝÝ i = 1,2 Ò Ò θ i /(1 θ i ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò A i Ú ØÓº Ì Ô ØÙ¹ Ñ Ò A 1 A 2 Ú ØÓ Ù ÓÒ θ 1 /(1 θ 1 ) θ 2 /(1 θ 2 ). ÄÓ Ø¹ Ø Ó ÒØ Ú ÓÒ ÖÚÓ Ò ÐÓ Ö ØÑ Øº

18 ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ÇÐ Ø Ø Ò Ñ Ö ØØ ÖÒ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ò ÒÓÙ¹ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Exp(θ) ÓÐÐÓ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ ½¼º º½µ f(x) = 1 θ e x/θ, 0 < x <. ÂÓ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ ÖÚÓ Ú Ø Ý ÙÑ º ÇÐ ÑÑ ØØÒ Ø ÔÓ¹ Ò ÒØØ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÑÝ ÑÙÓ Ó ½¼º º¾µ f(x) = λe λx, 0 < x <, Ñ λ = 1/θº Ì Ú ÐÐ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒØ Ú Ð Ø Ò Ø Ò ØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ø¹ Ø ÓØ Ò ØÖ ÙÑ Ò ÓÑ Ò ÙÙØØ Ø ÙÑ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò ¹ ØÝ Ø Ô Ò Ý Ò ÖØ º È Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ ½¼º º½µ θ ÓÒ ÙÑ Ò ÖÚÓº ÂÓ Ñ Ö θ = 2 Ò Ò λ = 1 º ÂÓ Ø θ Ò Ú Ð ÒØ Ú Ø Ý Ø¹ 2 Ø Ò Ò ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ ½¼º º¾µ ÒØ Òº Í ÓØØ ÚÙÙ Ñ Ò ¹ Ø ÐÑÐÐ ÓÒ Ñ ÐÐÝØØÚ Ô ÖÖ ØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ÒÚ Ö ÒØØ Ø Ú Ø Ò Ý ¹Ý Ø Òµ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò Ù Ø Òº ½¼º º½ Í ÓØØ ÚÙÙ ÙÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ ÇÐ ÓÓÒψ g(θ) Ô Ö Ñ ØÖ ÑÙÙÒÒÓ L (ψ) Ô Ö Ñ ØÖ Òψ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ ¹ Ø Ó L(θ) Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Óº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ö {θ,l(θ)} Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ Ò º Ë ÐÐÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò ψ ÙÚ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø {ψ,l (ψ)} = {g(θ),l(g(θ))} = {g(θ),l(θ)}, Ó Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò ÒÚ Ö Ò Ô Ö ØØ Ò ÑÙ Ò L (ψ) = L(θ). Ì Ø ÙÖ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ Ø Ò ØÖ ÒÚ Ö ÒØØ ÙÙ º Ä Ù ½¼º½ ÂÓ ˆθ ÓÒ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ψ = g(θ) Ò Ò ˆψ = g(ˆθ) ÓÒ ψ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ º ÙÒ Ø ÓÒ g(θ) Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ø Óº ÂÓ Ñ Ö ψ = g(θ) = θ 2, Ò Ò Ñ Ö g( 1) = g(1) = 1º ÂÓ L(θ = 1) = 0.5 L(θ = 1) = 0.3 Ò Ò Ñ Ø ÓÒ L (ψ = 1) Ì Ø Ô Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ L (ψ = 1) = max L(θ) {θ,g(θ)=1} = max{0.5, 0.3} = 0.5. ÂÓ ˆθ ÓÒ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ Ò Ò ˆθ 2 ÓÒ θ 2 Ò ÙÙ¹ Ö ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ º

19 ½¼º º È Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ ¾ Ñ Ö ½¼º½ ÂÓ ÒÓÑ ÙÑ Ø Bin(10,θ) Ò Ú ÒØÓx = 8 θ Ò ËÍ ÓÒ ˆθ = 0.8º Ë ÐÐÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò g(θ) = θ/(1 θ) ËÍ ÓÒ ˆθ/(1 ˆθ) = 0.8/0.2 = 4. ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ Ú Ø Ú ÒÚ Ö ÒØØ ÙÙ ÓÑ Ò ÙÙØØ ÑÙ ÐÐ Ø ¹ Ñ ØØÓÖ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ º ÂÓ Ñ Ö θ ÓÒ θ Ò Ö ØÓÒ Ñ Ò Ñ Ú ¹ Ö Ò Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ g( θ) ÓÐ ÝÐ Ø g(θ) Ò Ö ØÓÒ Ñ Ò Ñ Ú Ö Ò ¹ Ò Ò Ø Ñ ØØÓÖ º ½¼º È Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ ÇÐ ÓÓÒ X 1,X 2,...,X n ÓØÓ Ó Ø Ò ÙÑ Ø Ð X 1 X 2 º º º X n ÓÚ Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ º Ð ÐÙÚÙ ½¼º Ø Ö Ø ÐØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ÓØÓ Ø Ò Ý ØÑ Øº ÃÓ X 1 º º º X n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓ¹ Ñ Ø Ò Ò Ú ÒØÓ Ò X 1 = x 1 º º º X n = x n Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÖ Ø ØØÝ Ù ÓØØ ¹ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ L(θ;x 1,x 2,...,x n ) = L(θ;x 1 )L(θ;x 2 ) L(θ;x n ). Î Ø Ú Ø ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(θ;x 1,x 2,...,x n ) = l(θ;x i ), Ñ l(θ;x i ) = logl(θ;x i ) 1 i nº ËÙÓÖ Ò Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ ½¼º º½µ S(θ;x 1,x 2,...,x n ) = S(θ;x i ), Ñ S(θ;x i ) = l (θ;x i )º ÃÙÒ Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ S(θ;x 1,x 2,...,x n ) ØÝ ½¼º º½µ ÒÒ Ø Ò Ô Ö ¹ Ñ ØÖ ÐÐ Ó Ò ÖÚÓ θ = θ 0 Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú ÒØÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ½¼º º¾µ S(θ 0 ;X 1,X 2,...,X n ) = S(θ 0 ;X i ). ÅÝ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ½¼º º¾µ ÙØ ÙØ Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó º Â Ø Ó Ô Ø ¹ ÙÒ Ø ÓØ ½¼º º¾µ Ñ Ö ØÒ Ù Ò ÐÝ Ý Ø S(θ 0 ;X 1,X 2,...,X n ) S(θ 0 )º Î Ø Ú Ø ÚÓ Ò ÑÝ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓØ Ø Ö Ø ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò º Ë ÐÐÓ Ò ÑÑ ½¼º º µ I(θ 0 ;X 1,X 2,...,X n ) = S (θ 0 ;X j ) = j=1 I(θ 0,X j ), j=1

20 ¾ ¼ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Ñ S (θ 0 ;X j ) ÓÒ Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ S(θ;X j ) Ö Ú Ø Ò ÖÚÓ Ô Ø θ = θ 0 I(θ 0,X j ) ÓÒ Ý Ø Ò Ú ÒØÓÓÒ X j Ô ÖÙ ØÙÚ Ò ÓÖÑ Ø Óº ÁÒ ÓÖÑ ¹ Ø ÓÒ ½¼º º µ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ½¼º º µ I(θ 0 ) = E[I(θ 0 ;X 1,X 2,...,X n )] ÙØ ÙØ Ò Ó ÓØ ØÙ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø ÐÝ Ý Ø Ö Ò Ò ÓÖÑ ¹ Ø Ó º Ç Ó Ø ÑÑ Ð ÐÙÚÙ ½¼º º¾ ØØS(θ 0 ) Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ 0 Ú Ö Ò ÓÒ Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó I(θ 0 )º Ã Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò S(θ 0 ) I(θ0 ) N(0,1), ÙÒ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º Ñ Ö ½¼º½ ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(θ,1)º Ë Ð¹ ÐÓ Ò l(θ) = 1 (X i θ) 2 2 l (θ) = n (X i θ)º ÃÙÒ θ = θ 0 Ò Ò l (θ 0 ) = S(θ 0 ;X 1,...,X n ) = (X i θ 0 ). ÃÓ l (θ) = n Ò Ò I(θ) = I(θ) = nº ÆÝØ S(θ 0 ;X 1,...,X n ) I(θ0 ) = n (X i θ 0 ) n = X θ 0 1/ n N(0,1). Ñ Ö ½¼º½ ÇÐ ÓÓÒX 1,...,X n ÓØÓ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ø Poi(µ)º Ë Ð¹ ÐÓ Ò ( l(µ) = X i ) logµ nµ, l (µ) = Xi µ n ÓØ Ò I(µ) = X i /µ 2 º Ç ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ ( ) Xi I(µ) = E = nµ µ 2 µ = n 2 µ. ÃÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò µ = µ 0 Ò Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó ÓÒ l Xi (µ) =, µ 2 S(µ 0 ;X 1,...,X n ) = Xi nµ 0 µ 0 = n µ 0 (X µ 0 ).

21 ½¼º º È Ø ÙÙÖ Ò ÙÑ ¾ ½ Ì Ø ÙÖ ØØ S(µ 0 ) I(µ0 ) = (n/µ 0)(X µ 0 ) = X µ 0 n/µ0 µ0 /n. ÃÓ Var(X) = µ 0 /n Ò Ò Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò X µ 0 µ0 /n d N(0,1), ÙÒ n º Ñ Ö ½¼º½ ÃÙÒ X 1,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ø Exp(θ) Ò Ò l (θ) = n θ + Xi θ 2 l(θ) = nlogθ ÃÓ l (θ) = n/θ 2 ( 2 X i )/ θ3 Ò Ò Xi θ = 1 ( ) Xi nθ = n θ 2 θ2(x θ). ( 2 Xi I(θ) = E n ) = 2nθ n θ 3 θ 2 θ 3 θ = n 2 θ 2. Ì Ø ÙÖ ØØ ÒÒ Ø ØÝÐÐ θ Ò ÖÚÓÐÐ θ = θ 0 S(θ 0 ) I(θ0 ) = (n/θ2 0)(X θ 0 ) = X θ 0 n/θ 2 0 θ 2 0 /n, Ó Ò Ö Ú ØØÑÒ ÑÙ Ò Ð Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) ÙÒ n Ú º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØ ÓÒ Ý ØÐ Ò S(ˆθ) = 0 Ö Ø Ùº ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ˆθ θ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ñ Ð ÙÒ n º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ ÓÒ θ Ò Ø Ö ÒØÙÚ Ø Ñ Ø¹ ØÓÖ º Ä ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ I(ˆθ)/I(θ) 1 ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò Ñ ¹ Ð ÙÒ n º ÐÐ Ñ Ö ÓÐ ÑÑ Ú ÒÒ Ø ØÙÐÓ Ò Var[S(θ)] = I(θ) Ó Ô Ø Ô Ò ÝÐ Ø Ø ØØÝ Ò ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø ¹ µº Ë ½¼º º µ S(θ) I(ˆθ) N(0,1), ÙÒ n ÓÒ Ö ØØÚÒ ÙÙÖ º ÃÓ ˆθ ÓÒ Ð ÐÐ ÖÚÓ θ ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ Ò Ò Ð ÖÚÓÒ ½¼º º µ ÑÙ Ò l(θ) l(ˆθ) 1 2 (ˆθ θ 0 ) 2 I(ˆθ).

22 ¾ ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø Ö ÚÓ Ñ ÐÐ θ Ò Ù Ø Ò Ò S(θ) (ˆθ θ)i(ˆθ). Ë ÐÐÓ Ò ØÙÐÓ Ò ½¼º º µ ÑÙ Ò ½¼º º µ (ˆθ θ) I(ˆθ) N(0,1). Ì Ø Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÙÖ Ò D Ð ÖÚÓ D = 2[l(θ) l(ˆθ)] (ˆθ θ) 2 I(ˆθ). ÃÓ ½¼º º µ Ò ÑÙ Ò (ˆθ θ) I(ˆθ) ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1) Ò Ò D ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò χ 2 ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò 1 ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ º ½¼º ½¼º º½ ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ç ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ó Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ÌÓ Ø ÓÒ ÝÐ Ò ÓÐ Ø ØØÙ ØØ Ó ÓÒ Ø ØÝ Ú ÒÒÓØ ÝØ ØØÚ µº ÇÐ ÑÑ Ø Ö Ø ÐÐ Ø Ø Ñ Ø Ò Ú ÒÒÓ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ θ Ó ¹ Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓØ º Ì Ð ØÓÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ Ó Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙÚ ÔØ ØØ Ø Ñ Ø Ó Ø ÒÒ ØØ Ø Ñ Ø Ø Ñ ØØÓÖ Ø ÝØغ ËÙÙÖ Ú ØØÙ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó I(ˆθ) Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ˆθ ÓÒ ÝÚ θ Ò Ø Ñ ØØ º ÂÓ Ó Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ ÝÚ θ Ò Ø Ñ ØØ ÒÒ ØØ ÝÖ ØØ Ú Ð Ø Ó Ø Ò ØØ Ò Ñ Óй Ð ÑÑ Ò ÙÙÖ I(ˆθ)º ÑÑ Ù Ø Ò Ò ÚÓ Ð Ñ ØØ ˆθ Ú Ø Ú Ø Ú ØØÙ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓØ I(ˆθ) ÒÒ Ò Ù Ò Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø ÝØ Øع Ú Ð ÒÒ Ò Ó ØØ º Ñ Ö ½¼º½ Ì Ø Ø Ò n Ò ØÙÓØØ Ò ØÓ Ø Ö Ø Ñ ÐÐ ÑÓÒ Ó Ò Ø Ø Ø ØÝÒ ÒÒ ÐØ Ø ØÙÒ Ø Ø Ò t 0 º ÇÐ ÓÓÒ Y Ø Ø Ò t 0 ¹ ØÚ Ò ØÙÓØØ Ò ÐÙ ÙÑÖº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÓ ØX i ÒÓÙ ØØ Ú Ø ØÓ ¹ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Exp(θ)º Å Ø Ò t 0 ÓÐ Ú Ð ØØ Ú ØØ Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÐ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò ÙÙÖ ÃÓ X Exp(θ) Ò Ò π(θ) = P(X > t 0 ) = t 0 1 θ e x/θ dx = e t 0/θ. Ì Ø Ò t 0 ØÚ Ò ØÙÓØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ Y ÒÓÙ ØØ ÒÓÑ ÙÑ Bin(n,π) ÓÒ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(θ) = Y logπ(θ)+(n Y)log[1 π(θ)],

23 ½¼º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ¾ Ñ π(θ) = e t 0/θ º Ö ÚÓ Ñ ÐÐ l(θ) ÖØ Ò I(θ) = ÃÓ E(Y) = nπ Ò Ò [ Y π + n Y ]( ) 2 dπ 2 (1 π) 2 dθ I(θ) = E[I(θ)] = = nπt2 0 (1 π)θ 4 = n θ 2 ( ) 2 n dπ π(1 π) dθ ( Y π n Y ) d 2 π 1 π dθ 2. π 1 π (logπ)2. ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ I(θ) ÚÙØØ Ñ Ñ Ò ÙÒ π = 0.203º Ë Ò¹ Ò ØØ ÝÖ ØØ Ú Ð Ø t 0 Ø Ò ØØ ÒÓ Ò 20 ± Ø Ø ØØ Ú Ø ØÙÓØØ Ø Ø Ó Ó Ø Ø ÓÒ Òº ½¼º º¾ È Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X ÒÓÙ ØØ ÙÑ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x;θ)º ¹ Ö Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó ÓÒ S(θ) = S(θ;x) = d dθ l(θ;x), Ñ l(θ;x) = logf(x;θ)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ÙÒ Ø ÓØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò S = S(θ;X) ÙØ Ò Ð ÐÙÚÙ ½¼º º Ñ Ö ½¼º½ ÇÐ ÓÓÒX 1,...,X n ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ0) 2 Ñ ¹ σ0 2 ÓÒ ØÙÒÒ ØØÙº Ë ÐÐÓ Ò µ Ò ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ù ÓØØ ÚÙÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ l(µ) = 1 (Xi µ) 2 2σ0 2 Ó Ø Ò [ 1 E(S) = E σ 2 0 S = 1 σ 2 0 (Xi µ), ] (Xi µ) = 1 E(Xi µ) = 0 σ0 2 [ 1 Var(S) = Var = σ 2 0 Var(Xi µ) σ 4 0 ] (Xi µ) = 1 ] Var[ (Xi µ) σ0 4 = nσ2 0 σ 4 0 = n. σ0 2

24 ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ÌÓ ÐØ l (µ) = n/σ0 2 ÓØ Ò I(µ) = n/σ2 0 Ö ÔÙ Ú ÒÒÓ Ø Ð¹ ÐÓ Ò ÑÝ I(µ) = n/σ0 2 º À Ú Ø ÑÑ ØØ Var(S) = I(µ)º Ë ÙÖ Ú ÒÝØ ØÒ ØØ Ú Ø Ú ØÙÐÓ Ô Ø Ô Ò ÐÐ Ô Ø ¹ Ò ÓÖÑ Ø Ó¹ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÙÒ Ò Ö ØØÚØ ÒÒ ÐÐ ÝÝ ÓØ ÓÚ Ø ÚÓ Ñ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ÝÐ Ø ØØ E(S) = 0 [ ] d E(S) = E dθ logf(x;θ) [ ] 1 = f(x;θ) d dθ f(x;θ) f(x;θ)dx = d ½¼º º½µ f(x;θ)dx = d dθ dθ 1 = 0. Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ñ ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ØØ Ö ÚÓ ÒÒ Ò ÒØ ÖÓ ÒÒ Ò Ö¹ ØÝ Ø ÚÓ Ò Ú Ø º ÃÓ E(S) = 0 Ò Ò ½¼º º¾µ Var(S) = E(S 2 ). ÌØ ÙÙÖ ØØ ÙØ ÙØ Ò Ó ÓØ ØÙ µ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó Ñ Ö ØÒ Var(S) = I(θ). ÌÓ ÐØ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó ÚÓ Ð Ù Ù ÑÙÓ Ó [ ] d 2 l(θ;x) ½¼º º µ I(θ) = E. dθ 2 ÌÓ Ø Ò Ò Ò ØØ ÃÓ [ E 1 f(x;θ) d 2 l dθ 2 = d dθ = = [ 1 f(x;θ) ] d dθ f(x;θ) 1 d 2 1 f(x;θ) dθ 2f(x;θ) [f(x;θ)] 2 1 f(x;θ) ] d 2 dθ 2f(x;θ) = d 2 dθ 2f(x;θ) [ df(x;θ) dθ [ ] 2 dlogf(x;θ). dθ 1 f(x;θ) d 2 dθ 2f(x;θ) f(x;θ)dx d 2 d2 = dθ2f(x;θ)dx = dθ 2 ] 2 f(x;θ)dx = d2 dθ21 = 0, Ò Ò [ ] [ ] d 2 2 l(θ;x) dlogf(x;θ) E = E = E(S 2 ). dθ 2 dθ

25 ½¼º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ¾ Æ Ò ÓÒ ÒØ Ø ØØ ½¼º º µ ØÓ Ø ØØÙº Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ñ ÓÐ Ø ØØ Ò ÐÐ Ò ØØ Ö ÚÓ ÒÒ Ò ÒØ ÖÓ ÒÒ Ò Ö ØÝ ÚÓ Ò Ú Ø º ÃÙØ Ò Ð ÐÙÚÙ ½¼º ½¼º ØÓ ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø ¹ ØÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ô Ø ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ñ ÐÐ Ý Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø ÑÖ Ø ØÝØ Ô Ø ÙÒ Ø Óغ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ú Ø Ú ÓÑ Ò ¹ ÙÙ º ÇÐ ÓÓØ X 1 X 2 Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÐ ÓÓØ S 1 (θ) = S(θ,X 1 ) S 2 (θ) = S(θ,X 2 ) Ú Ø Ú Ø Ô Ø ÙÒ Ø Óغ Ë ÐÐÓ Ò Ý Ø ØÝÒ Ó¹ Ò Ô Ø ÙÒ Ø Ó S(θ) = S(θ;X 1,X 2 ) ÓÒ S(θ) = S 1 (θ)+s 2 (θ). ÇÑ Ò ÙÙ Ò ½¼º º½µ ÒÓ ÐÐ E(S) = 0 Var(S) = Var(S 1 )+Var(S 2 ), ÐÐ S 1 S 2 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÃÓ Var(S) = I(θ) Ò Ò Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ Ø Ú Ò Ò ½¼º º µ I(θ) = I 1 (θ)+i 2 (θ), Ñ Var(S i ) = I i (θ) i = 1,2º ÂÓ ÒÝØ X 1,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÙÑ Ø ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x;θ) Ò Ò S(θ;X 1,...,X n ) = S i (θ), Ñ E(S i ) = 0 S i Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø 1 i nº ÃÓ X i Ø ÒÓÙ¹ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ Ò Ò ÚÓ Ò Ñ Ö Ø Var(S i ) = I i (θ) = i(θ),i = 1,...,n Ð Ó Ò Ú ÒÒÓÒ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ Ñ º À ÓØ ÐÑ ½¼º º µ Ú Ø Ú Ø I(θ) = Var(S j ) = ni(θ). j=1 ½¼º º Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ö Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ ØØ Ö ØØÓÑ Ò Ø Ñ Ø¹ ØÓÖ Ò Ú Ö Ò Ò Ð Ö º Ä Ù ½¼º¾ Ö Ñ Ö Ê Óµ ÇÐ ÓÓÒ ˆθ Ô Ö Ñ ØÖ Ò θ Ö ØÓÒ Ø Ñ Ø¹ ØÓÖ º Ë ÐÐÓ Ò Ø ØØÝ Ò ÒÒ ÐÐ ÝÝ ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø ½¼º º µ Var(ˆθ) 1 I(θ), Ñ I(θ) ÓÒ Ó ÓØ ØØÙ Ò ÓÖÑ Ø Óº

26 ¾ ÄÙ Ù ½¼º Í ÓØØ ÚÙÙ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø Ø ÌÓ ØÙ º ÃÓ Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ S Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ 0 Ò Ò Cov(ˆθ,S) = E[(ˆθ θ)s] = E(ˆθS) θe(s) = E(ˆθS). ÌÓ ÐØ Ò E(ˆθS) = = = [ ] d ˆθ dθ logf(x;θ) f(x;θ)dx [ ] 1 d ˆθ f(x;θ) dθ f(x;θ) f(x;θ)dx ˆθ d dθ f(x;θ)dx = d dθ ˆθf(x;θ)dx ÃÓ = d dθ θ = 1. [Cov(ˆθ,S)] 2 Var(ˆθ)Var(S), Cov(ˆθ,S) = 1 Var(S) = I(θ) Ò Ò Ø Ø ÙÖ Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ ÔÝ ¹ ØÐ ½¼º º µ Var(ˆθ) 1 I(θ). ½¼º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÌÓØ ÑÑ Ð ÐÙÚÙ ½¼º ØØS(θ 0 ) ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ S(θ 0 ) d N[0,I(θ 0 )], ÙÒ n º Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ñ Ð Ó ÐÙ ØØ ÐÓÑ Ø ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò ¹ Ø Ñ ØØÓÖ Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÓÑ Ò Ù٠غ Ì Ö ÒØÙÚ º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ Ø Ö ÒØÙÚ Ö ¹ Ò ÝÐ Ø Ò ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø º Ë ÐÐÓ Ò lim n P( ˆθ θ 0 > ε) = 0 ÐÐ ε > 0 Ñ ˆθ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Òθ 0 Θ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ º ÝÑÔØÓÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð Ò Òº ( d ˆθ N θ 0, 1 I(θ 0 ) Ö Ò ÝÐ Ø Ò ØÓ Ò Ú ÐÐ Ø ), ÙÒ n º ÃÙÒ θ = θ 0 Ò Ò ˆθ Ò ÙÑ Ð Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ n Ò Ú º

27 ½¼º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ¾ Ñ Ö ½¼º¾¼ ÇÐ ÓÓÒX 1,...,X n ÓØÓ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ø Exp(1/β)º Ë ÐÐÓ Ò f(x) = βe βx l(β) = nlogβ β x i, ÓØ Ò l (β) = n/β 2 I(β) = n/β 2 º ËÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ ˆβ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ) ˆβ N (β, β2. n ÁÒÚ Ö ÒØØ Ô Ö Ñ ØÖ Ó ÒÒ Ò Ù Ø Òº ÂÓ ˆθ ÓÒ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù Óع Ø ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ò Ò g(ˆθ) ÓÒ g(θ) Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø ¹ Ñ ØØÓÖ Ñ g ÓÒ θ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Óº Ñ Ö ½¼º¾½ ÇÐ ÓÓÒ X 1,...,X n ÓØÓ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ø Exp(θ)º È Ö Ñ ØÖ Ò θ ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ ˆθ = xº Ä Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò P(X t 0 ) ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ º ¹ ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ P(X t 0 ) = e t 0/θ = π(θ)º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ò π ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ ˆπ = π(ˆθ) = e t 0/x. Ä Ù ½¼º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ θ ÓÒ θ Ò Ö ØÓÒ Ø Ñ ØØÓÖ Ó ÚÙØØ Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ö Òº ÂÓ θ Ò ÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ˆθ ÓÒ Ý ØÐ Ò l θ = 0 Ö Ø Ù Ò Ò θ = ˆθº Ä Ù Ò ØÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø ÒºËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø Ñ ØØÓÖ ÚÓ Óй Ð Ö Ò Ò ÑÙØØ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ö ØÓÒº ÂÓ ˆθ ÓÒ Ö ØÓÒ Ò Ò ÐÐ ÓÒ Ö Ñ Ö Ò Ê ÓÒ Ð Ù Ø ØØÝ Ñ Ò Ñ Ú Ö Ò 1/I(θ)º ÌÐÐ Ø Ø Ñ ØØÓÖ ÒÓØ Ò Ø Ó º ÂÓ ˆθ ÓÒ Ö Ò Ò Ò Ò ˆθ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ó Ð ˆθ Ò Ú Ö Ò Ð Ò Ú Ö Ò Ò Ð Ö º